Equação de Análise Empírica

Motivação

• Esta é uma primeira aproximação para o problema de análise univariada
• Isto significa, na prática, que estamos tratando de um conjunto (ou uma série) de observações de uma mesma quantidade (e.g., temperatura)
• Considere um modelo matemático simples:

• A função seno com a adição de um ruído normalmente distribuído

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Motivação

• Suponha que possamos utilizar este modelo para ajustar uma curva produzida a partir de uma distribuição normal randômica utilizando uma equação de análise empírica:

• Onde:
  • : é o vetor análise
  • : é o vetor background
  • : é o vetor observação
  • : é um peso escalar dado à observação e ao background

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O modelo

• Já sabemos que o nosso modelo é a função seno. Então, vamos definir um domínio para a nossa função. Seja um vetor com 629 elementos de 1 a 629:

x0 = np.arange(1,630,1)

• Como nosso modelo é a função seno, vamos aplicar a função aos elementos do nosso domínio e vamos nomear de o vetor com a imagem da nossa função, ou melhor, é o nosso background:

xb = np.sin(x0) + ruido

Como é ?

xb = 
array([ 1.60624883e+00,  1.32688359e+00,  1.36485484e-01, -5.28018657e-01, ...
       -1.70776972e+00, -1.23210461e+00, -4.33982552e-01, 8.86349535e-01])

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As observações

• O vetor observação , pode ser definido de forma semelhante ao vetor background :

mu_true = 0
sigma_true = 1
s = np.random.normal(mu_true, sigma_true, 629)
y = xb + np.sin(s)

Como é ?

y = 
array([ 8.63703635e-01,  1.61015360e+00,  5.87457172e-01, -1.50481750e+00, ...
       -9.50091116e-01, -1.64829028e+00,  5.60348293e-01, 5.84897816e-02])

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Distribuição Normal

• Observe que ambos, e , possuem distribuição normal, isto é, ambos são representados por valores aleatórios distribuídos sobre uma curva normal com e e e :

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Distribuição Normal

• Estamos mantendo as distribuições de e próximas à distribuição normal, porque esta distribuição possui as seguintes propriedades:

• ~68% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a um desvio-padrão
• ~95% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio-padrão
• ~99,7% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio-padrão

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Séries de e

• Com e definidos, podemos plotar os seus elementos:

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Equação de Análise Empírica

• Olhando para nossa equação de análise empírica, percebemos que os elementos e já estão definidos
• Ainda precisamos determinar o parâmetro , que é o peso a ser atribuído às observações
• é um outro peso que será atribuído ao background - por que?
• Uma vez determinado o valor de , determinaremos e, consequentemente, o valor de , o vetor análise (representado da mesma forma que e ):

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Determinação de

• Antes de determinarmos o parâmetro , precisamos saber o que ele é e como pode ser definido
• é um parâmetro que relaciona as medidas das variâncias das parcelas:

• Onde:
  • e são as variâncias do background e das observações
• Para calcular , precisamos calcular as variâncias dos vetores e

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Erros e

errb = mdb + dpb * np.random.randn(len(x0))
erro = mdo + dpo * np.random.randn(len(x0))

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Testando alguns valores de e

• Exemplo da série dos erros de background e observação :

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Testando alguns valores de e

• Exemplo da distribuição dos erros de background e observação :

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Variância dos erros e

• Dado que depende dos valores das variâncias das distribuições dos erros de background e observação, calculamos e :

sigmab2 = np.var(errb)
sigmao2 = np.var(erro)

• Partindo-se dos valores das distribuições de e , obtemos as seguintes variâncias:

sigmab2 = 0.0095226361060977
sigmao2 = 0.00011333207595536619

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Cálculo de

• Com os valores de e , o valor de é calculado:

alpha = sigmab2 / (sigmab2 + sigmao2)
alpha = 0.9882386415340758

• Da equação de análise empírica, observamos que 99% do peso é dado para as observações, enquanto que 1% de peso é dado para o background

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Cálculo de

• Observando novamente a equação da análise, notamos que todos os parâmetros estão determinados:

• : é um valor único ()
• : é um vetor com valores "observados" de apenas uma grandeza (e.g., temperatura)
• : é um vetor com valores produzidos (calculados) por um modelo matemático (neste caso, a função seno adicionada de um ruído de distribuição próxima da normal)

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Cálculo de

xa = alpha * y + (1 - alpha) * xb

xa = 
array([-2.97708719e-01,  9.10349665e-01,  4.99888690e-01, -3.03402470e-01, ...
       -2.54933099e-02, -6.02816581e-01,  2.19151299e-01, 3.04442057e-01])

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Plotando todos os resultados juntos

• Observe que a análise (curva vermelha) representa o ajuste do background (curva azul) às observações (pontos azuis)
• Quanto mais precisa a observação, melhor o ajuste

Notebook com Atividade Prática 1

Dúvidas

https://cfbastarz.github.io/met563-3/
https://github.com/cfbastarz/MET563-3
carlos.bastarz@inpe.br