Introdução à Assimilação de Dados (MET 563-3)

Motivação - Métodos Baseados em Conjuntos


Dr. Carlos Frederico Bastarz


Programa de Pós-Graduação em Meteorologia (PGMET) do INPE

05 de Outubro de 2025

🥷 🐦

Métodos Baseados em Conjuntos


Sumário


  1. Filtro de Kalman linear
  2. Método de Monte Carlo
  3. Ensembles
  4. Ensemble Kalman Filter
    4.1 Histórico e desenvolvimento
    4.2 Características principais
    4.3 Inflation
    4.4 Localização
  5. Visão geral sobre os esquemas derivados
  6. Atividades realizadas no CPTEC com o método LETKF
  7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo
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Métodos Baseados em Conjuntos


1. Filtro de Kalman linear


  • O Filtro de Kalman calcula analiticamente a atualização do estado e da covariância, assumindo

    • Linearidade
    • Ruído gaussiano

  • Processo é realizado em duas etapas

    • Previsão
    • Correção

  • Na etapa de previsão

    • Ocorre a extrapolação do estado do modelo e da incerteza

  • Na etapa da correção

    • Ocorre o cálculo da matriz ganho de Kalman (matriz peso, tal como na Interpolação Ótima)
    • Ocorre a atualização da estimativa do estado com as observações
    • Ocorre a atualização da estimativa da incerteza
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1. Filtro de Kalman linear


  • Etapa de previsão

    • 👉 Extrapolação do estado do modelo e da incerteza

    • Onde:
      • é o vetor background no tempo
      • é o modelo de previsão (linear), integrado do tempo até
      • é o vetor análise no tempo
      • é o erro do modelo, com covariância
      • é a covariância do background no tempo

  • Etapa da correção

    • 👉 Cálculo da matriz ganho de Kalman (matriz peso, tal como na Interpolação Ótima)

    • 👉 Atualização da estimativa do estado com as observações

    • 👉 Atualização da estimativa da incerteza

    • Onde:
      • é o vetor análise no tempo
      • é a covariância da análise no tempo
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1. Filtro de Kalman linear


  • ✅ Vantagens do Filtro de Kalman linear
    • Além de estimar o estado do sistema (análise), estima analiticamente a covariância (incerteza)

      • Permite quantificar a confiança na análise

      • A matriz (ganho de Kalman) ajusta a contribuição do modelo e da observação


  • ❌ Limitações do Filtro de Kalman linear
    • Não é adequado para sistemas de alta dimensão (e.g., atmosfera, oceado), pois as matrizes de covariâncias ( e ) são explícitas e enormes
    • Requer que o modelo dinâmico seja linear
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2. Método Monte Carlo


  • O método Monte Carlo foi introduzido nos anos 1940
    • John von Neumman, durante o desenvolvimento do projeto Manhattan (bomba atômica)

  • Premissa
    • 💡 Se não é possível calcular algo diretamente, pode-se estimar o resultado por meio de simulações aleatórias
    • Qualquer método estatístico baseado em amostragem massiva para obter resultados numéricos
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2. Método Monte Carlo





  • 🎲 Exemplo simples
    • Estimar o valor de contando quantos pontos caem dentro de um quadrado que contém um círculo inscrito (a razão entre os pontos dentro do círculo e o total é )

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2. Método Monte Carlo


  • 🥧 Estimativa do valor de 

    import numpy as np

np.random.seed(42)

N = 1000000
x = np.random.rand(N)
y = np.random.rand(N)
dentro_circulo = (x**2 + y**2) <= 1

estima_pi = 4 * np.sum(dentro_circulo) / N
print(estima_pi)

  • 👉 Resultados

    Valores de N Valores de
    1 0,0
    10 2,8
    100 3,2
    1.000 3,112
    10.000 3,1556
    100.000 3,1376
    1.000.000 3,141864
    10.000.000 3,1415772
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3. Ensembles

  • Ensemble ou conjunto (de análises ou previsões) representam múltiplas simulações para a mesma data alvo
    • O objetivo é tentar amostrar a incerteza do modelo
  • Diferentes técnicas podem ser utilizadas para se construir um ensemble
    • 👉 O mais simples: utilizar previsões de diferentes modelos (superensemble)
      • A desvantagem: pós-processar diferentes previsões de diferentes modelos
    • 👉 O mais complexo: utilizar assimilação de dados
      • A vantagem: fornece um ensemble de análises e previsões
    • Outras técnicas:
      • Poor man's ensemble: utiliza análises defasadas para gerar um ensemble inicial de previsões
      • Perturbação de física: utiliza diferentes parametrizações físicas do modelo para construir o ensemble
      • EOF: Funções Ortogonais Empíricas, utilizado pelo CPTEC
      • Singular Vectors: utilizado pelo ECMWF
      • Bred Vectors: utilizado pelo NCEP (passado)
      • EnKF: Ensemble Kalman Filter para assimilação de dados (e técnicas derivadas)
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3. Ensembles

  • Benefícios
    • Em geral, a média de um ensemble (bem construído) fornece uma boa estimativa em relação à previsão determinística (o skill tende a ser melhor)
    • Fornece também a incerteza da previsão (spread ou espalhamento do ensemble)

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3. Ensembles

  • Desafios

    • Custo computacional (relação tamanho do ensemble X resolução espacial)

    • Armazenamento

    • Subestimativa da incerteza (undersampling) devido ao tamanho do ensemble

    • Acurácia e precisão



  • 🧠 Qual destas situações é acurada e precisa?
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3. Ensembles

  • As previsões de um modelo numérico podem conter viés e erros sistemáticos

    • O viés é uma medida do erro aleatório do modelo e está relacionado com a precisão na representação dos estados do modelo
      • 👉 Pode-se corrigir as previsões no pós-processamento
    • O erro sistemático está relacionado com a acurácia com a qual um modelo numérico representa estes estados
      • 👉 Deve-se corrigir o modelo antes que as previsões sejam feitas

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4. Ensemble Kalman Filter


4.1 Histórico e desenvolvimento


  • 📖 O Kalman Filter linear foi introduzido em 1960:
    • A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems (Kalman, 1960)
    • https://x.gd/VlIfX
  • 📖 O Ensemble Kalman Filter foi introduzido em 1994:
    • Sequential data assimilation with a nonlinear quasi-geostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistics (Evensen, 1994)
    • https://x.gd/VsQ1V
  • 💾 Com a evolução dos computadores e o aumento da complexidade do sistema de observação global, novas técnicas derivadas do EnKF surgiram:
    • EnSRF - Ensemble Square Root Filter
    • ETKF - Ensemble Transform Kalman Filter
    • LETKF - Local Ensemble Transform Kalman Filter
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4. Ensemble Kalman Filter


4.2 Características principais


  • 👉 O Filtro de Kalman por conjunto é um filtro do tipo Monte Carlo
    • Assume que os erros são gaussianos
    • Assume que as relações entre os estados são lineares
    • Usa as matrizes de covariâncias para quantificar as incertezas

  • 💔 O problema

    • Em sistemas reais (e.g., atmosfera, oceano), é impossível armazenar e propagar a matriz de covariâncias completa

  • 💡 A solução

    • Ao invés de armazenar as matrizes de covariâncias (teóricas) gigantes, o EnKF estima estas matrizes a partir de um conjunto de amostras (ensemble)
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4. Ensemble Kalman Filter


4.2 Características principais


  • O EnKF foi desenvolvido mantendo as principais características do filtro de Kalman linear, mas com as diferenças

    • 👉 Estimativa das covariâncias feita com base nos membros do ensemble e não via matriz explícitas

    • 👉 Matriz ganho de Kalman é conceitualmente igual, mas também calculada a partir do ensemble

    • 💡 A propagação das covariâncias é feita pela propagação do ensemble

    • 💡 Permite tratar a não linearidade, pois cada membro do ensemble pode evoluir pelo modelo não linear completo

    • O EnKF original é estocástico, no sentido de que as observações são perturbadas para gerar um conjunto de análises

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4. Ensemble Kalman Filter


4.2 Características principais


  • No EnKF, a covariância dos erros de previsão () é substituída pela covariância do conjunto

    • Onde:

      • é a matriz de perturbação do ensemble (desvio em relação à média)

    • 🧠 Por que é calculada considerando membros (fator de correção de Bessel)?

      • Usar no denominador do fator de correção, torna a estimativa tendenciosa, pois subestima a (co)variância real
      • Usar no denominador do fator de correção, evita a estimativa tendenciosa e coincide com a covariância verdadeira
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4. Ensemble Kalman Filter


4.2 Características principais


  • Erro do modelo X Erro da previsão

  • Na equação da covariância do erro da previsão



  • Os termos e são semelhantes, mas possuem significados diferentes

    • representa a covariância total da incerteza do modelo (o quanto o EnKF confia nas previsões)
    • representa o erro introduzido pelo modelo (parametrizações, método numérico etc)
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4. Ensemble Kalman Filter

4.2 Características principais

  • Se o conjunto for pequeno, as covariâncias são subestimadas
  • Quanto maior o conjunto, melhor será a representação das covariâncias
    • 🧠 Qual é o tamanho ideal de um conjunto para que se tenha a melhor estimativa das covariâncias do ("erro") do modelo?
  • Perturbação das observações

    • Cada observação é perturbada com um ruído aleatório, extraído da distribuição do erro de observação com covariância

    • Cada membro do ensemble recebe uma versão ligeiramente diferente das observações reais

    • O ruído é independente entre os membros e com média zero e covariância

    • 👉 Isso é o que garante que o EnKF não colapse, pois garante a dispersão (da covariância) do ensemble

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4. Ensemble Kalman Filter


4.3 Inflation


  • 🏃‍♂️‍➡️ No ciclo de assimilação de dados do EnKF, as observações são utilizadas para corrigir o estado do modelo
    • 💡 Mas o EnKF perturba o modelo para amostrar a sua incerteza
    • 🃏 Ambiguidade
      • Ao mesmo tempo que se perturba do estado, tenta-se corrigi-lo
    • 👉 Então, ao longo do tempo, a tendência é a de que a incerteza do EnKF seja cada vez mais subestimada, de forma que seja necessário inflar o spread (espalhamento ou incerteza) do conjunto
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4. Ensemble Kalman Filter


4.3 Inflation


  • No EnKF, é estimada a partir de um número finito de membros

    • Como consequência, a estimativa da incerteza do modelo é subestimada

    • Isso faz com que o filtro confie mais nas previsões e menos nas observações!

    • Problemas podem ocorrer com a divergência do filtro

      • ⏳ Com o tempo, o modelo se afasta das observações

    • 💡 O inflation é um mecanismo artificial para aumentar a variância do ensemble





  • Cada membro é "inflado" em torno da média do ensemble 👉 é empírico!

  • Onde:

    • é o membro do ensemble com variância inflada
    • é a média do ensemble
    • é o fator de inflação ()

  • : não inflaciona o ensemble

  • : aumenta a dispersão do ensemble 👉 aumenta a incerteza 👉 aumenta a variância

  • : diminui a dispersão do ensemble 👉 diminui a incerteza 👉 diminui a variância

  • Se o ensemble for pequeno, maior é o valor de

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4. Ensemble Kalman Filter


4.3 Inflation


  • A escolha de um valor para é empírica e depende do tamanho do ensemble
    • Quanto menor o ensemble, maior pode ser o valor de
  • O inflation pode ser implementado de forma que seja adaptativo
    • Pode variar em função do spread e do erro da análise

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4. Ensemble Kalman Filter

4.3 Localização

  • A localização é utilizada para compensar o efeito cíclico de correções sobre o espalhamento do conjunto de previsões devido ao seu tamanho, para evitar
    • Covariâncias espúrias
      • Se o ensemble for pequeno, a amostragem das covariâncias é ruim, o que faz com que covariâncias distantes não reflitam as relações físicas reais
    • Custo computacional alto

      • A localização limita a covariância entre variáveis de estado que estão muito longe umas das outras

      • Onde:

        • é uma função de correlação (funciona como um raio de influência)
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5. Visão geral sobre os esquemas derivados


  • EKF - Extended Kalman Filter

    • É uma extensão do Filtro de Kalman linear para sistemas não lineares
    • Lineariza o modelo e o operador observação ao redor do estado estimado

  • EnSRF - Ensemble Square Root Filter

    • É a forma determinística do EnKF (o EnKF é estocástico porque perturba as observações!)
    • Cada membro é atualizado em torno da média do ensemble

  • LETKF - Local Ensemble Kalman Filter

    • Atualiza cada ponto de grade de forma independente no espaço do ensemble (é mais eficiente)
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5. Visão geral sobre os esquemas derivados


EKF - Extended Kalman Filter


  • É uma extensão do Filtro de Kalman linear para sistemas não lineares (não é ensemble!)
  • Lineariza o modelo e o operador observação ao redor do estado estimado

  • Equações do modelo

  • Equações da análise


  • Onde:
    • é a matriz jacobiana do operador observação
    • é a matriz jacobiana do operador observação
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5. Visão geral sobre os esquemas derivados


EnSRF - Ensemble Square Root Filter


  • É a forma determinística do EnKF (o EnKF é estocástico porque perturba as observações!)
  • Cada membro é atualizado em torno da média do ensemble

  • Atualização do ensemble médio (análise)

  • Atualização das anomalias (covariâncias)

  • Onde:

    • e são covariâncias cruzadas entre o espaço do modelo e o espaço físico (observações)
    • é a matriz square root (raiz quadrada) que garante que as covariâncias do ensemble correspondam às covariâncias do filtro de Kalman linear, sem precisar perturbar as observações
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5. Visão geral sobre os esquemas derivados


LETKF - Local Ensemble Kalman Filter


  • Atualiza cada ponto de grade de forma independente no espaço do ensemble (é mais eficiente)

  • Matriz peso da análise () no espaço do ensemble:


  • Matriz de ganho transformado

  • Atualização da média e anomalias no espaço dos pesos

  • Equação da análise no espaço do modelo

  • Onde:
    • são os vetores unitários que definem cada membro no espaço reduzido do ensemble
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6. Atividades realizadas no CPTEC com o método LETKF


  • Por volta de 2009, o grupo de assimilação de dados do CPTEC vinha estudando a aplicação do LETKF como método substituto para a sua análise operacional em domínio global
    • Resolução: TQ0126L028 (aproximadamente 100 km de resolução espacial horizontal e 28 níveis verticais em coordenada sigma)
    • 40 membros

  • 🔨 Desafios
    • Desempenho computacional para um conjunto grande de membros (aumento da resolução ficou limitado ao tamanho do conjunto)
    • Assimilação de radiâncias (necessidade de desenvolvimento de diferentes operadores para diferentes tipos de observações não convencionais)
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6. Atividades realizadas no CPTEC com o método LETKF


  • LETKF permaneceu como método de pesquisa do CPTEC
    • 2010 - Tese Rosângela Cintra: "Assimilação de Dados com Redes Neurais Artificiais em Modelo de Circulação Geral da Atmosfera"
    • 2010 - Pós-Doutorado José Aravéquia: "Evaluation of a Strategy for the Assimilation of Satellite Radiance Observations with the Local Ensemble Transform Kalman Filter"
    • 2011 - Dissertação Maria Medeiros: "Impacto do Uso de Radiância na Assimilação de Dados usando 4D-LETKF na Região da América do Sul"
    • 2013 - Bolsa PCI Lucas Avanço: "Assimilação de Dados de Rádio Ocultação GNSS no LETKF: Disponibilidade de Dados e Implementação de um Operador"
    • 2018 - Tese Helena Barbieri: "Ajuste Dinâmico para Análise Híbrida entre um Sistema Variacional e Filtro de Kalman por Conjunto"
    • 2018 - Tese Leonardo Lima: "Estudo das Incertezas na Simulação por Conjuntos e no Uso da Assimilação de Dados no Oceano Atlântico Sudoeste"
    • Entre outros...
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Ninja Vs. Codorna

🥷 🐦

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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo






Ninja Vs. Codorna

🥷 🐦



  • Uma codorna 🐦 pia no meio da mata
  • Um ninja 🥷 escuta...
  • A codorna pia mais uma vez
  • O ninja escuta novamente...
  • O ninja quer saber onde está a codorna
  • A codorna pia novamente...
  • E ela faz isso mais 100 vezes
  • Pergunta
    • 🧠 Será o ninja capaz de descobrir a posição da codorna no meio da mata? (continua...)

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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


  • Palavras-chave

    • Hipótese: uma pergunta - uma teoria seria uma afirmação?
    • Dado: uma informação, uma observação
    • Verossimilhança: (ou likelihood) o grau de veracidade de uma determinada informação
    • Informação à priori: (ou prior) aquilo que se conhece a princípio
    • Informação à posteriori: (ou posterior) aquilo que se conclui a partir da informação à priori
    • Probabilidade conjunta: probabilidade de dois ou mais eventos ocorrerem simultaneamente

  • Conceito-chave

    • Probabilidade condicional: ocorrência de um evento dada uma informação à priori
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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


  • Teorema de Bayes

  • Onde:
    • : é a hipótese
    • : é o dado observado (uma informação observada)
    • : é o posterior (ou posteriori, é a probabilidade da hipotese após observar o dado)
    • : é o prior (é a probabilidade atribuída à hipótese antes de ver o dado)
    • : é a probabilidade do dado (constante de normalização)
    • : verossimilhança (é a probabilidade da observar o dado, considerando-se a hipótese verdadeira)
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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


Probabilidade Vs. Verossimilhança


  • Probabilidade
    • É a chance de ocorrência de um determinado evento possível
  • Verossimilhança
    • É provável (ou possível) que este evento exista? Este evento é plausível?

  • Para que um determinado evento ocorra, é necessário que ele exista e que pertença a um determinado conjunto de eventos possíveis
    • A máxima verossimilhança destaca, portanto, o quão verossímil é a probabilidade do evento
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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


Verossimilhança


  • Considere que você observa o lançamento de 20 dados 🎲 sobre uma mesa e deseja saber qual é a verossimilhança desta observação - todos os dados apresentam os mesmos valores

  • Para isto, consideramos duas hipóteses:
    1. Dado viciado
    2. Dado não viciado
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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


🎲 Dado viciado

  • Neste cado, os 20 dados apresentam o mesmo valor (e.g., 5)

    • A probabilidade conjunta destes eventos

🎲 Dado não viciado

  • Neste caso, cada um dos 20 dados possui a mesma probabilidade de apresentar um dos 6 números possíveis

    • A probabilidade conjunta neste caso é

  • 👉 Portanto, é muito mais verossímil que o dado seja viciado dada a observação inicial

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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


Provabilidade Vs. Verossimilhança

  • Exemplo

    • : o ninja 🥷 ouve um canto na mata

    • : há uma codorna 🐦 na mata

    • : é a verossimilhança

      • : o fato de o ninja ouvir um canto na mata, dado que há uma codorna na mata, não significa que dado que há uma codorna na mata, o ninja ouvirá um canto - ela pode estar dormindo 🐦 💤
      • , então é baixa: se há uma codorna na mata, não necessariamente ela está cantando e o que o ninja ouve não é uma codorna, mas sim um pardal 🐦
      • , então é alta: se há uma codorna na mata, então há um canto ecoando na mata
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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


Estimativa de Máxima Verossimilhança


  • Permite estimar, por exemplo, os momentos estatísticos de uma determinada distribuição. Por exemplo:
    • Quais são os valores de média () e desvio-padrão () que maximizam a probabilidade de um determinado evento (ou hipótese) ou dado observado?
    • Em outras palavras, quais são os valores de e que tornam os dados observados mais prováveis (considerando que os dados vem de uma distribuição normal )?
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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


Exemplo de Inferência Bayesiana (ou Filtro Bayesiano)


  • Kalnay (2002)🔸: dadas duas observações independentes e , as quais são assumidas possuírem distribuição normal e erros com desvios-padrão e , qual é o valor mais provável de ? Neste caso, define-se a análise como sendo o valor mais provável de dadas as observações e as suas estatísticas de erro:

🔸Kalnay, E. (2002). Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability. Cambridge: Cambridge University Press.

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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo

  • Distribuição Normal - ou Gaussiana

  • O valor mais provável (likely) de dadas as observações independentes e , é aquele que maximiza a probabilidade conjunta, ou seja, o produto de e :

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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


Prior, posterior, likelihood, distribuição de probabilidade...


  • Teorema de Bayes

  • Distribuição Gaussiana

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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


Inferência Bayesiana Recursiva (ou "Filtro de Bayes Recursivo")


  • Um ninja ouve o canto intermitente de uma codorna (ela está parada)
  • A cada canto, ele tenta descobrir a posição da codorna
    • 🧠 Como o ninja pode inferir a posição da codorna?

  • Um outro problema real poderia ser: ajustar um modelo aos valores observados a cada ciclo de análise
    • 🧠 Como isso pode ser feito de forma iterativa?
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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


Exemplo prático: Ninja Vs. Codorna

  • Método Monte Carlo
    • 🔴 posição real da codorna
    • ➕ posição da codorna, segundo o ninja ()
  • A cada canto da codorna, o ninja tenta descobrir a posição real da ave
  • O ninja pode modelar a situação e, com um número finito de tentativas, pode estimar a posição mais provável da codorna
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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo






  • Para cada posição inferida pelo ninja, a "função iterativa de Bayes", calcula a verossimilhança da posição:
m[i,j] =  norm * np.exp(np.matmul(-(x[:,n] - me), np.matmul(inv, (x[:,n] - me) / 2.)))
  • Ou seja,

  • A melhor estimativa obtida pelo ninja utilizando-se a inferência Bayesiana recursiva, é chamada de "Estimativa de Máxima Verossimilhança" e representa o valor mais provável a ser obtido (cores mais quentes na superfície) da posição da codorna

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7. Atividade - Filtro de Bayes Recursivo


🎲 Notebook com Atividade Prática 7

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🤔 Dúvidas








🔗 https://cfbastarz.github.io/met563-3/
🐙 https://github.com/cfbastarz/MET563-3
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👉 This work is licensed under CC BY-NC-SA 4.0

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