Histórico da Assimilação de Dados

Retomando...

• Década de 1950: primeiras previsões numéricas do tempo
• Limitações computacionais inviabilizavam métodos mais precisos
• Bergthórsson e Döös (1955)
  • Primeira formulação prática de análise objetiva
• Cressman (1959)
  • Propõe correções sucessivas com raio de influência decrescente

Histórico da Assimilação de Dados

An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

• É o Método de Correções Sucessivas

1. Inicia-se com um campo de background
2. Utiliza-se as observações distribuídas de forma irregular no espaço
3. Ajusta-se iterativamente o background em direção às observações:
   • Inicia-se com raio de influência grande
   • Reduz-se o raio de influência até que o campo de background convirja para as observações

• https://journals.ametsoc.org/view/journals/mwre/87/10/1520-0493_1959_087_0367_aooas_2_0_co_2.xml

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

Detalhes da formulação (seguindo Kalnay, 2003)

• Onde,
  • é a enésima estimativa no ponto de grade
  • é a k-ésima observação ao redor do ponto de grade
  • é o valor do enésimo campo de background no ponto de observação
  • é o número de observações dentro da distância do ponto de grade
  • é a estimativa da razão entre a variância do erro da observação e o da variância do erro do background

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

• No Método de Correções Sucessivas de Cressman, os pesos são definidos como:

• Onde,
  • é o quadrado da distância entre um ponto de observação e um ponto de grade
  • é o quadrado do enésimo raio de influência

• Observações mais próximas têm maior peso

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

Exemplo 1D

• Considere um modelo matemático simples:

• A função seno com a adição de um ruído normalmente distribuído

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Exemplo 1D

x = np.arange(-np.pi, np.pi, 0.01)
xb_seno = np.sin(x)

• Outra forma de acrescentar o ruído:

sigma = 0.5  
#ruido = np.random.randn(len(x)) * sigma 
ruido = np.random.randn(*x.shape) * sigma 

xb = xb_seno + ruido

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Exemplo 1D

# Posições

obs_pos = np.array([-2.2, -2.1, -2.0, -1.8, 0.9, 1, 2, 3])

# Valores medidos

obs_vals = np.array([-2.2, -1.8, 0.9, 0, 1, 2, 3, 4])

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

Exemplo 1D

# Função peso de Cressman

def weight(r, R):
    w = (R**2 - r**2) / (R**2 + r**2 + 1e-12) 
    w[r >= R] = 0.0
    return w

• Note que estamos utilizando um ruído extra (), o qual pode ser omitido - o que acontece nesse caso?

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Exemplo 1D

# Raios das passagens sucessivas

radii = [3.0, 2.0, 1.0, 0.5, 0.25, 0.175]

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Exemplo 1D

xa = xb.copy()

for R in radii:
    increments = np.zeros_like(xa)
    denom = np.zeros_like(xa)
    for xo, yo in zip(obs_pos, obs_vals):
        r = np.abs(x - xo)
        w = weight(r, R)
        increments += w * (yo - xa)
        denom += w
    # evita a divisão por zero
    mask = denom > 0
    xa[mask] += increments[mask] / denom[mask]

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos apenas 2 raios?

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Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos 3 raios?

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Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos 4 raios?

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Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos 5 raios?

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Exemplo 1D

• O que acontece quando escolhemos 6 raios?

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Exemplo 2D

• Considere um modelo matemático simples:

• A função seno com a adição de um ruído normalmente distribuído
• Definimos um plano Cartesiano de 100 pontos onde esta função será aplicada
• Utilizando ruido = np.random.randn(len(LON)) * sigma

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

Exemplo 2D

• Considere um modelo matemático simples:

• A função seno com a adição de um ruído normalmente distribuído
• Definimos um plano Cartesiano de 100 pontos onde esta função será aplicada
• Utilizando ruido = np.random.randn(*LON.shape) * sigma

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An Operational Objective Analysis System (Cressman, 1959)

Exemplo 2D

• Definimos dois vetores com o domínio para e
• Definimos uma malha a partir dos valores do domínio

lon = np.linspace(-np.pi, np.pi, 10)
lat = np.linspace(-np.pi, np.pi, 10)

LON, LAT = np.meshgrid(lon, lat)

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Exemplo 2D

• Aplicamos a função para os valores do domínio
• Definimos um ruído
• Somamos o ruído à função

xb_seno = np.sin(LON)

sigma = 0.5  
ruido = np.random.randn(*LON.shape) * sigma

xb = xb_seno + ruido

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Exemplo 2D

• Definição das posições e valores das observações

# Posições

obs_locs = np.array([[-2.2, -1],
                     [-2.1,  0.5],
                     [-2.0, -0.5],
                     [-1.8,  2],
                     [ 0.9, -2.8],
                     [ 1.0,  1.0],
                     [ 2.0,  0.0],
                     [ 3.0,  0.5]])      

# Valores medidos

obs_vals = np.array([-1.0, -1.5, -2.0, -1.0, 1.0, 0.0, 0.5, 0.0]) 

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Exemplo 2D

• Definição dos pesos dados em função da distância entre o ponto a ser analisado e as observações
• O peso será zero quando a observação estiver fora do raio de influência

def weight(dx, dy, R):
    r2 = dx**2 + dy**2
    R2 = R**2
    w = (R2 - r2) / (R2 + r2 + 1e-12) 
    w[r2 >= R2] = 0.0  zero fora do raio 
    return w

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Exemplo 2D

• Definimos um vetor com os valores dos raios de influência
• Observe que, neste exemplo, os valores são adimensionais

radii = [3.0, 2.5, 2.0, 1.5, 1.0, 0.5] # passos sucessivos

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Exemplo 2D

• Iniciamos a análise como sendo o background
• Para cada raio de influência, para cada observação, calculamos os pesos de acordo com o valor do raio de influência

xa = xb.copy()

for R in radii:
    inc = np.zeros_like(xa)
    denom = np.zeros_like(xa)
    for (xo, yo), obs in zip(obs_locs, obs_vals):
        dx = LON - xo
        dy = LAT - yo
        w = weight(dx, dy, R)
        inc += w * (obs - xa)
        denom += w
    mask = denom > 0
    xa[mask] += inc[mask] / denom[mask]

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos apenas 1 raio?

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos apenas 2 raios?

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos 3 raios?

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos 4 raios?

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos 5 raios?

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Exemplo 2D

• O que acontece quando escolhemos 6 raios?

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Notebook com Atividade Prática 4

• Insights e questões interessantes que surgiram durante a aula :
  • Como generalizar a determinação do raio de influência nos pontos de grade a serem analisados?
  • Como fazer com que os raios de influência possam ser distintos entre os pontos de grade?
    • A densidade de observações ao redor de cada ponto de grade seria um meio para isto?
  • Como fica a assimilação das observações na vertical? Os métodos empíricos que vimos até agora, contabilizam a estrutura vertical do modelo ou apenas a estrutura horizontal?
  • Como devem ser definidos os valores dos raios de influência?
    • A resolução do modelo seria um critério a ser utilizado?

Dúvidas

https://cfbastarz.github.io/met563-3/
https://github.com/cfbastarz/MET563-3
carlos.bastarz@inpe.br