Método Variacional

Sumário

Método Variacional - Parte I

1. Cálculo variacional

• Surge no século XVII com o matemático suíço Jean Bernoulli com a proposição do seguinte problema:

  • Entre dois pontos, sendo um mais alto do que o outro, qual é a forma da rampa pela qual um corpo desce mais rápido, apenas sob a ação da gravidade e sem atrito?

    
    
    

Método Variacional - Parte I

1. Cálculo variacional

• Este problema ficou conhecido como o Problema da Braquistócrona (a curva descrita pela trajetória do corpo) e emprega a equação de Euler-Lagrange para a sua solução
• Inseriu uma nova ideia na matemática: ao invés de se buscar um número que minimiza uma expressão, busca-se uma função (que descreve a forma da curva)
• O tempo total de descida do corpo pode ser descrito como uma integral que depende dessa função e o cálculo variacional permite determinar qual função faz essa integral ser mínima
• A essência do cálculo variacional é encontrar uma função que minimiza ou maximiza um funcional^🔸, ou seja, uma expressão que associa um número a cada função possível

Método Variacional - Parte I

1. Cálculo variacional

Um exemplo simples

• Entre todos os caminhos que ligam os pontos de coordenadas e , encontre aquele que minimiza o comprimento da curva
  1. Para resolver este problema, primeiro temos que definir o nosso funcional:
     • O comprimento da curva é , com
  2. Definido o funcional , aplicamos a equação de Euler-Lagrange:
     • A equação de Euler-Lagrange é
     • Como não depende diretamente de , o segundo termo é zero:
  3. Se a derivada é nula, então temos uma constante , o que implica que é uma constante e que portanto, é linear, ou seja,
  4. Logo, a função que minimiza o comprimento da curva dado pelo funcional é uma reta

Método Variacional - Parte I

1. Cálculo variacional

O Problema da braquistócrona

Método Variacional - Parte I

1. Cálculo variacional

Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

• Matriz é um conjunto retangular de informações arranjado em linhas e colunas
• Os itens individuais de uma matriz são chamados de elementos
• Por exemplo, uma matriz retangular , com linhas e colunas:

Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

• Matrizes de mesmo tamanho podem ser adicionadas ou subtraídas elemento por elemento
• Multiplicação de matrizes é possível desde que o número de colunas da primeira matriz, seja igual ao número de linhas da segunda matriz
• Uma matriz com linhas é colunas é chamada matriz , onde e são chamados de dimensões da matriz
• Uma matriz :

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2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

• Matrizes com uma única linha são chamadas de vetor linha e matrizes com uma única coluna, são chamadas de vetor coluna
• Matrizes com o mesmo número de linhas e colunas, são chamadas de matrizes quadradas
• Exemplos:

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2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

• Os subscritos, normalmente representados por , correspondem à posição de um dado elemento dentro da matriz
• Por exemplo, o elemento

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2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Adição de matrizes

Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Transposição de matrizes

• A transposição de uma matriz representa a reflexão em relação à sua diagonal principal, que se inicia no canto superior esquerdo
• Se é uma matriz , então a sua transposta é a de dimensões :

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2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Transposição de matrizes

• Propriedades:

• Nota: e são vetores coluna e é o produto escalar

Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Multiplicação de matrizes

• Multiplicação entre duas matrizes só é possível se o número de colunas da matriz à esquerda for igual ao número de linhas da matriz à direita:

Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Multiplicação de matrizes

• Propriedades:

• Nota: é um escalar

Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Tipos de matrizes

Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Tipos de matrizes

Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Exercícios

1. Adição de matrizes 3 x 3

   • Sejam , calcule

2. Multiplicação de matrizes 3 x 3

   • Sejam , calcule

Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Exercícios

3. Determinante de matriz 3 x 3

   • Calcule o determinante de

4. Inversa de matriz 2 x 2

   • Seja , enconte , se existir

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2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Respostas

1. Adição de matrizes 3 x 3

   • Sejam , calcule
   
   
   • 

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2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Respostas

2. Multiplicação de matrizes 3 x 3

   • Sejam , calcule
   
   
   • 

Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Respostas

3. Determinante de matriz 3 x 3

   • Calcule o determinante^🔸 de
   
   
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   • 
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Método Variacional - Parte I

2. Revisão de Álgebra Linear (Matrizes)

Respostas

4. Inversa de matriz 2 x 2

   • Seja , enconte , se existir
   
   
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Dúvidas

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https://github.com/cfbastarz/MET563-3
carlos.bastarz@inpe.br

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