Derivaçao da Equação de Análise a partir da Função Custo Variacional Tridimensional
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Abaixo apresento uma derivação da equação de análise utilizada em assimilação de dados para a determinação da condição inicial dos modelos de previsão numérica de tempo. Esta equação é obtida a partir da função custo variacional tridimensional (3DVar), sem considerar a dimensão temporal das observações. Logo, todos os elementos do vetor observação \(\mathbf{y^{o}}\) são considerados em um mesmo \(t=t_{0}\), enquanto que o background \(\mathbf{x_{b}}\) é considerado no tempo \(t=t_{0}-1\) e a análise \(\mathbf{x_{a}}\) é obtida para o mesmo tempo das observações (\(t=t_{0}\)).
Apesar de parecer um tanto quanto enfadonho (principalmente porque este é um passo a passo), acho interessante apresentar as idéias relacionadas à derivação porque não se tem textos semelhantes em português. Para um texto científico, a maioria das passagens abaixo seriam descartadas, reduzindo esta derivação a poucas equações. De antemão, acrescento que sugestões e correções são bem vindas, visto que algumas imprecisões podem existir.
Seja (1) a função custo variacional tridimensional:
\(\mathbf{x}\) é o vetor de estado a ser analisado de dimensão \(\textit{p}\)
\(\mathbf{x_{b}}\) é o vetor de estado do background de dimensão \(\textit{p}\)
\(\mathbf{B}\) é a matriz de covariâncias dos erros de background de dimensão \(\textit{p}\times\textit{p}\)
\(\mathbf{y^{o}}\) é o vetor observação de dimensão \(\textit{n}\)
\(\mathbf{R}\) é a matriz de covariâncias dos erros de observação de dimensão \(\textit{n}\times\textit{n}\)
\(\textit{H}\) é o operador observação não linear
Oservação: Em geral \(\textit{H}\) é um modelo linearizado (portanto sob a forma \(\mathbf{H}\)) que mapeia os valores do background para os pontos em que estão as observações.
Na Eq. (1), o termo \((\mathbf{x} - \mathbf{x_{b}})\) representa o vetor incremento de análise e o termo \((\mathbf{y^{o}} - \textit{H}(\mathbf{x}))\) representa o vetor inovação.
Para derivar a equação de análise a partir de (1), consideramos (por simplicidade) apenas uma observação e que o vetor incremento de análise é pequeno o suficiente para que possamos linearizar o operador observação:
Ou seja, em (2) expressamos que o vetor de estado a ser analisado (a análise) é igual ao vetor de estado do background somado ao incremento de análise. Substituindo \(\mathbf{x}\) da Eq. (2) na relação do vetor inovação:
Na Eq. (4) o operador observação não linear \(\textit{H}\) é aplicado sobre o incremento de análise \((\mathbf{x} - \mathbf{x_{b}})\), o qual é muito pequeno. Sendo assim, considera-se que o operador observação a ser aplicado sobre o incremento de análise pode ser linearizado. Isto significa que pequenas variações do vetor incremento de análise fazem com que \(\textit{H}\) varie muito pouco. Portanto, a Eq. (4) pode ser reescrita como:
A forma da Eq. (14) é a forma em que será aplicado o operador gradiente. O gradiente é aplicado na função custo variacional para se determinar o vetor de estado de análise \(\mathbf{x_{a}}\) tal que \(\nabla_{x}{J(\mathbf{x})} = 0\). Ou seja, o mínimo de \(J(\mathbf{x})\) fornece os valores do vetor de estado analisado.
Teorema (1):
Dada a função quadrática \(F(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{d} + c\), onde \(\mathbf{A}\) é uma matriz simétrica (ou seja, é igual à sua transposta), \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{d}\) são vetores e \(c\) é um escalar, o gradiente de \(F(\mathbf{x})\) é dado por \(\nabla_{x}{F(\mathbf{x})} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{d}\).
Na Eq. (17) observamos que o termo 4 do lado direito não depende do vetor de estado analisado \(\mathbf{x}\) e que portanto \(\frac{\partial \lbrace(\mathbf{y^{o}} - \textit{H}(\mathbf{x_{b}}))^{T}\mathbf{R}^{-1}(\mathbf{y^{o}} - \textit{H}(\mathbf{x_{b}}))\rbrace}{\partial x} = 0\), logo:
O segundo termo da Eq. (19) resulta em zero, pois a derivada da constante \((\mathbf{y^{o}} - \textit{H}(\mathbf{x_{b}}))\mathbf{R}^{-1}\mathbf{H}\) é zero.
Utilizando-se do fato de que as relações entre as matrizes nos termos 1-3 do lado direito da Eq. (18) geram matrizes simétricas (e.g., \((\mathbf{B}^{-1} + \mathbf{H}^{T}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{H})^{T}= (\mathbf{B}^{-1} + \mathbf{H}^{T}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{H})\)), a Eq. (19) reduz-se a:
No inicio foi feita consideração de que o vetor de estados analisado \(\mathbf{x}\) é a própria análise quando \(\nabla_{x}{J(\mathbf{x})} = 0\), logo iguala-se a Eq. (21) a zero, de forma que \(\mathbf{x} = \mathbf{x_{a}}\):